Konforme Abbildungen und Nichteuklidische Geometrie

Allgemeine Beschreibung

In diesem Kurs soll mathematisch interessierten Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit gegeben werden, ein tiefliegendes, aber dennoch (oder gerade deswegen) schönes und anschauliches Teilgebiet der Mathematik sowie dessen Methoden kennenzulernen.

Da die Begriffe des Kurstitels in der Regel in der Schulmathematik nicht vorkommen, zunächst einige Erläuterungen. Konforme Abbildungen sind Abbildungen eines Teilgebiets der komplexen Ebene auf ein anderes Teilgebiet derselben, die in gewissem Sinne winkelerhaltend sind; winkelerhaltend bedeutet in diesem Zusammenhang, daß der Winkel zweier sich schneidender Kurven im Ausgangsgebiet gleich dem Winkel der Bildkurven ist.

In dem Kursabschnitt über konforme Abbildungen sollen zumindest Teilantworten zu den folgenden beiden essentiellen Fragen gegeben werden:

Welche Gebiete können überhaupt konform aufeinander abgebildet werden (z.B.: Halbebene - Kreis, Polygon - Kreis, Mandelbrotmenge - Kreis, etc.)?
Kann man diese konformen Abbildungen evtl. bestimmen?

Unter nichteuklidischer Geometrien versteht man, grob gesprochen, die Geometrien, die sich ergeben, falls man das sogenannte Parallelenaxiom fallen läßt. Das Parallelenaxiom besagt, daß es zu einer gegebenen Gerade und einem beliebigen Punkt außerhalb der Geraden genau eine Gerade gibt, die diesen Punkt enthält und zur gegebenen Gerade parallel liegt.
Bei vergleichbar kleinen Abständen sind euklidische und nichteuklidische Geometrien im wesentlichen äquivalent. Hat man es jedoch mit Abständen im Weltraum oder mit Problemen der modernen Physik wie der Relativitätstheorie zu tun, beschreiben die nichteuklidischen Geometrien die beobachteten Phänomene meist genauer als die euklidischen Geometrien.

In diesem Kursabschnitt wollen wir uns Gedanken über Sinn, Zweck, Auswirkung und Anwendung dieses zunächst rein theoretischen Konstrukts machen.

Themenschwerpunkte:

1. Holomorphe, d.h. komplex differenzierbare Funktionen

Einführung der komplexen Zahlen und das Rechnen mit Ihnen
Topologie der komplexen Zahlenebene und evtl. der Riemannschen Zahlensphäre
Funktionen zweier reeller, bzw. einer komplexer Variablen
Begriff der komplexen Differenzierbarkeit
Zusammenhang zwischen komplex differenzierbaren Funktionen und konformen Abbildungen
Kurvenintegrale

2. Spezielle Funktionen

Möbiustransformationen
komplexe Exponentialfunktion
evtl. komplexe Wurzel- und Logarithmusfunktion

3. Existenzsatz konformer Abbildungen bei einfach zusammenhängenden Gebieten

4. Konforme Abbildungen spezieller Gebiete aufeinander

5. Metrikfunktionen in Teilgebieten der komplexen Ebene

6. Modell einer nichteuklidischen Geometrie im Einheitskreis und evtl. auf der Sphäre

(Bemerkung: Die Punkte 1. und 2. sind stark gegliedert, da hier relativ grundlegende Begriffe angesprochen sind, die z.T. auch in Referaten von den Teilnehmerinnen und Teilnehmern zu bearbeiten sind. Die Ausgestalltung der restlichen Punkte muß und wird sich an Ort und Stelle aus der Eigendynamik des Kurses entwickeln. Neben der hinter all diesen Punkten verborgenen Mathematik soll auch deren Anwendung ein Schwerpunkt des Kurses sein, z.B. Anwendung der konformen Abbildungen in der Strömungslehre, der stereographischen Projektion in der Geographie, etc.)

Teilnahmevoraussetzungen

Der Kurs richtet sich an Schülerinnen und Schüler, die mit der Differential- und möglicherweise auch der Integralrechnung vertraut sind. Damit ist nicht allein das Beherrschen der Rechentechnik, sondern vor allem das Verstehen der zugrunde liegenden Ideen gemeint. Wünschenswert, aber nicht notwendig, sind gute Kenntnisse einiger elementarer Funktionen wie der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen als auch der Exponential- und Logarithmusfunktion. Neben diesen Grundlagen sind Abstraktionsvermögen und großes Engagement in diesem sicherlich nicht ganz einfachen, aber sehr interessanten Kurs gefordert.

(Bemerkung: Dieser Kurs ist ein mathematischer Kurs, der zwar u.U. einige einfache Computerdarstellungen herstellen wird und für den von daher Programmierkenntnisse nicht schaden können; er wird sich aber sonst hauptsächlich an der Tafel und im Kopf abspielen. Von daher sollten sich Computermuffel nicht abschrecken lassen.)

Kursleiter

Werner Knoben (Jg. 1971),
studierte Mathematik an der RWTH Aachen. Nach seinem Diplom 1998 arbeitete er ein halbes Jahr am Lehrstuhl II für Mathematik an der RWTH als wissenschaftlicher Mitarbeiter und erhielt im Anschluss daran ein Promotionsstipendium der DFG im Rahmen der Graduiertenförderung. Sein Forschungsschwerpunkt ist die Differential-Galoistheorie. In seiner Freizeit geht er gerne ins Theater, Kino oder in die Oper.

Norbert Terglane (Jg. 1963),
studierte Mathematik und Informatik an der RWTH Aachen. Er promovierte im Bereich der sogenannten komplexen dynamischen Systeme. Neben vielfältigen Lehrerfahrungen als langjähriger wissenschaftlicher Mitarbeiter brachten ihm Gastdozenturen an der Universidade de Coimbra in Portugal sowie Forschungsaufenthalte in verschiedenen Ländern neue Anregungen. Seit Ende 1997 ist er mit großer Begeisterung im Bereich Information Management einer großen Unternehmensberatung mit Themen von strategischen Positionierungen in der Informationstechnologie bis hin zum Wissensmanagement sowie mit Projekten vom Benchmarking bis hin zur Fusionsbegleitung tätig. Sein Interessenspektrum reicht von Philosophie und Physik bis hin zum Bergsteigen und Besuch von Jazzkonzerten, sofern seine knapp bemessene Freizeit dies zulässt.