Möbiustransformationen

Juliane Budde, Martin Vallon, Helena Weitz, Ansgar Bohmann

Wir möchten im Folgenden einen kurzen Einblick in eine Gruppe von Funktionen geben, mit denen wir uns beschäftigt haben, den Möbiustransformationen. Möbiustransformationen lassen sich als Funktionen von $\hat{\bf C}$ in $\hat{\bf C}$ in der Form $l(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ mit $a,b,c,d\in{\bf C}$ und $ad-bc\neq0$ darstellen. Für $ad-bc=0$ ergeben sich konstante Funktionen, d.h. Funktionen, die die gesamte Ebene in einen Punkt abbilden. Um eine Vorstellung von diesen Funktionen zu gewinnen, betrachten wir drei elementare Möbiustransformationen

$$ds(z)=az\hbox{ mit } a\in{\bf C}\backslash\{0\}\hspace{1cm}... ...f C}\hspace{0.5cm}\hbox{und} \hspace{0.5cm}I(z)=\frac{1}{z}.$$

Deutet man die Funktion $ds$ geometrisch, so handelt es sich um eine Drehstreckung um den Koordinatenursprung. Zwei Spezialfälle ergeben sich für $a\in{\bf R}^+$ bzw. für $\vert a\vert=1$. Im ersten handelt es sich um eine zentrische Streckung und im zweiten um eine Drehung um den Ursprung.
Abb.1: Drehstreckung
Die Möbiustransformation $t$ entspricht einer Verschiebung in der Gaußschen Zahlenebene. Abb.2: Translation
Die Inversion $I$ kann man geometrisch als Hintereinanderausführung einer Spiegelung am Einheitskreis und einer Spiegelung an der reellen Achse interpretieren. Da $I(z)=\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{\vert z\vert^2}$, wird jeder Zahl $z$ eine Zahl $w$ zugeordnet, deren Betrag der Kehrwert vom Betrag von $z$ ist, und deren Winkel zur positiven reellen Achse das Negative des Winkels von $z$ ist. Abb.3: Inversion
Man kann jede Möbiustransformation als Verkettung dieser drei speziellen Möbiustransformationen darstellen. Setzt man $l_1(z)=cz, l_2(z)=z+d, l_3(z)=\frac{1}{z}, l_4(z)=\left(b-\frac{ad}{c}\right)z$ und $l_5(z)=z+\frac{a}{c}$, dann ist

$$(l_5\circ l_4\circ l_3\circ l_2\circ l_1)(z)=\frac{az+b}{cz+d}.$$

Satz 1   Jede Möbiustransformation ist konform auf $\hat{\bf C}$.

Beweis:
Wie bereits gezeigt, lässt sich jede Möbiustransformation als Verkettung der drei speziellen Möbiustransformationen Translation, Drehstreckung und Inversion darstellen. Zunächst zeigen wir, dass diese drei Grundabbildungen konform sind. Für die Translation $l(z)=a+z$ ergibt sich:

$$l'(z)=1\hbox{ für alle }z\in\hat{\bf C}$$

Also ist die Translation konform auf ganz $\hat{\bf C}$. Analog kann man zeigen, dass die Drehstreckung sowie die Inversion konforme Abbildungen sind. Damit ist auch jede Verkettung dieser drei Grundabbildungen konform, was direkt aus der Kettenregel folgt. ${}$ ${}$

Doppelverhältnis

Das Doppelverhältnis ist eine spezielle Möbiustransformation. Sie bildet drei beliebige, paarweise verschiedene Punkte $z_1, z_2$ und $z_3$ auf die Punkte $0,1$ und $\infty$ ab. Wenn die Funktion $z_1$ auf $0$ abbilden soll, muss im Zähler der Funktion der Term $z-z_1$ stehen. Um $z_2$ auf $1$ abzubilden, muss beim Einsetzen von $z_2$ der Zähler des Bruchs gleich dem Nenner des Bruchs sein. Der Term $z-z_3$ muss im Nenner des Bruchs stehen, um $z_3$ auf $\infty$ abzubilden. Damit ergibt sich das Doppelverhältnis als

$$l(z)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{z-z_1}{z-z_3}:\frac{z_... ...ac{z-z_1}{z_2-z_3}&\hbox{ falls }z_3=\infty\end{array}\right.$$

Man wählt sich ein Doppelverhältnis $l_1$ so, dass es die Punkte $z_1, z_2$ und $z_3$ auf die Punkte $0,1$ und $\infty$ abbildet und ein zweites $l_2$ so, dass $w_1, w_2$ und $w_3$ ebenfalls auf die Punkte $0,1$ und $\infty$ abgebildet werden, d.h.

$$\begin{array}{l} z_1\rightarrow 0\leftarrow w_1\\ z_2\ri... ...leftarrow w_2\\ z_3\rightarrow 0\leftarrow w_3 \end{array}$$

wobei $z_1, z_2, z_3\in{\bf C}$ paarweise verschieden und $w_1, w_2, w_3\in{\bf C}$ paarweise verschieden vorrausgesetzt seien. Definiert man sich die Abbildung $l_3:=l_2^{-1}\circ l_1$, so erhält man eine Abbildung, die $z_1$ auf $w_1$ und $z_2$ auf $w_2$ sowie $z_3$ auf $w_3$ abbildet.

Um Möbiustransformationen zu veranschaulichen, machen wir ein Beispiel. Wir suchen eine Möbiustransformation, die das Innere des Einheitskreises auf die rechte Halbebene abbildet.

Abb.4: Beispiel einer Möbiustransformation
Dazu bestimmt man eine Möbiustransformation, die $-1$ auf $0$ und $i$ auf $i$ sowie $1$ auf $\infty$ abbildet. Dies wird durch die Möbiustransformation $l(z)=\frac{-az-a}{z-1}$ mit $a\in{\bf R}$ und $a > 0$ realisiert. Aus der Tatsache, dass Möbiustransformationen Kreise bzw. Geraden wieder auf Kreise oder Geraden abbilden, folgt, dass der Rand des Einheitskreises auf die Imaginäre Achse abgebildet wird. Wohin wird nun das Innere des Kreises abgebildet? Wir gehen also auf dem Einheitskreis im Uhrzeigersinn herum (von $-1$ nach $i$ nach $1$) und auf der imaginären Achse von ,,unten`` nach ,,oben`` ($0, i,\infty$). Wir stellen uns vor, wir laufen um den Kreis herum. Immer auf unserer rechten Seite befindet sich das Innere. Da es sich bei Möbiustransformationen um konforme Abbildungen handelt, wird das Innere auch auf die rechte Seite der imaginären Achse (in ,,Laufrichtung``) abgebildet. Mit dieser Transformation bilden wir eine endliche Fläche (Kreis) auf eine unendliche, die Halbebene, ab und zwar konform. Ziemlich überraschend, oder? ${}$ ${}$

August Ferdinand Möbius

Geboren am 17. Nov. 1790 in Schulpforta, Sachsen, gestorben am 26. Sept. 1868 in Leipzig Der Mathematiker und theoretische Astronom Möbius ist hauptsächlich durch seine Arbeit in der analytischen Geometrie und der Topologie bekannt geworden. Auf letzterem Gebiet gilt er vor allem als einer der Entdecker des Möbius-Streifens. 1815 wurde Möbius Professor für Astronomie an der Universität Leipzig. Später wurde er zum Leiter des Observatoriums der Universität ernannt, das in den Jahren 1818-21 unter seiner Aufsicht errichtet wurde. Er veröffentlichte Abhandlungen über die Planeten, ,,die Mechanik des Himmels`` und die ,,Hauptsätze des Astronomie``. Seine Werke in der Mathematik betreffen vor allem die Geometrie. Er führte Koordinatensysteme in der analytischen Geometrie ein und beschäftigte sich mit geometrischen Transformationen und Projektionen und vor allem den nach ihm benannten Möbiustransformationen.